数学虚数的定义及概念 虚数可在各领域都起决定性的作用

为了让大家更加直观的了解虚数这一概念，我们在了解虚数之前，先回过头重新看一下我们常见的数，例如正数、负数、小数等概念。

(相关资料图)

一提到这些相信大家的脑海里会浮现出一根数轴。我们所了解的正数都在这根数轴上：

但是，就这些正数是远远不够的，人们又想：难道就不能将这根数轴往左边方向拓展延伸吗？

于是，人们发现了负数，并将这根实数轴完善成了下面这个样子：

当时的人们认为这已经接近完美了，因为当时所有的数都可以在这根数轴上表示出来。这样安逸享乐的日子一直持续到了16世纪。当时意大利的卡尔达诺提出了一个这样子的问题：

“divide 10 in duas partes,ex quarum unius in reliquam ducto,produatur 40”

大致意思就是将10分成两部分，使其乘积为40，即

为了解开这道题，我们可以使用数形结合的思想，将它变为一个矩形，使其周长的一半为10，面积为40。

很容易可以看出，该矩形的最大面积是25，不可能达到40.也就说明该问题不存在答案。而其原因，就是因为没有发现虚数。

我们现在再来思考个问题。我们初中就知道了平方和开根号，就好比4^2=16，√16=4这种，但是有个前提，就是被开方数一定要大于等于零，否则无解。

于是，数学家就开始疑惑了，为什么负数就不能开平方呢？就好比为什么不存在√-1呢？很显然，这种数没有意义，与其说是被创造出来，不如说是被想象出来的。于是，对于√-1这种数，我们称它为“imaginary number（想象出来的数）”并以imaginary的首字母i作为它的单位。就这样，数学界开始规定

也就是

现在我们再来回到上面那道题：将10分成两部分，使其乘积为40。

我们设一个数为5+x，则另一个数为5-x，

于是就得到等式：(5+x)(5-x)=40

根据平方差公式得到：5^2-x^2=40

所以x^2=-15

所以两个数分别为5+√-15和5-√-15。

其中，√-15就是虚数。

前面对虚数的定义还不怎么深入，我们现在再用另一种方法解释一下。

通过数轴我们可以看出将1绕原点逆时针旋转180度，也就是乘以-1就得到了-1。

那假设我们只想旋转90度呢？很简单，乘以i就行。

如果我们将它一直乘以i，我们就可以得到：

根据i²=-1可以发现

也就是说明i⁴为一周期，每乘以4个i就会进行一次轮回。所以我们可以说，i就是逆时针旋转90度，是一个旋转量。相信这种解释会帮助你更好的理解虚数的定义。

现在，我们回到最开始讲的数轴上。通过这根数轴我们可以看出，人们总喜欢把所有的数都想象在一根一维的直线上。那么，现在又多了个虚数，这该怎么表示呢？

于是，他们想到了一个极棒的主意。就是将这根数轴进行拓展。当然，这里讲的拓展不是说把这根直线变得更长，而是将这个一维的直线拓展到二维，也就是再加一根轴线。就像这样：

对于这个二维的平面，我们称之为复平面。也就是说所有的点我们都可以a+bi的形式表示出来并称其为复数。

好，现在我们可以将我们了解的数归归类了：

准备，概念部分来啦！

单个复数常常用字母z来表示，即z=a+bi。其中a称为复数a+bi的实部，记作Re z；b称为复数a+bi的虚部，记作Im z。

当b=0时，复数z=a+bi=a是实数；当b≠0时，z叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=a+bi=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z是实数0.

如果两个复数和相等，那么a=c且b=d。即a+bi=c+di。

复数z=a+bi所对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离叫做复数z的模，记作|z|。当点P不是原点，即复数z≠0时，向量OP与 x轴正向的夹角称为复数z的辐角，记作Arg z。辐角的符号规定为：由正实轴依反时针方向转到OP为正，依顺时针方向转到OP为负。

现在问题来了，复数怎么进行运算呢？

想必大家合并同类项都会，那我们来试试这道题：

（5+4a）+（6-a）

这一定很容易吧，等于11+3a，那么我们现在把a换成虚数i就行了。所以：

（5+4i）+（6-i）=11+3i

减法也是如此，是不是很容易呢？

我们再来算一下这道题：

(2+3b)×(5+b)

这也是轻而易举啊，等于，现在把b换成i就行了，也就是说明

(2+3i)×(5+i)=10+3i²+17i

但是我们还知道，i²=-1，所以

(2+3i)×(5+i)

=10+3i²+17i

=10+3×(-1)+17i

=7+17i

是不是很简单呢？

其实，这些加法减法还可以在复平面上表示

我们可以把一个个复数看作是向量，而复数的和就是向量和，如图所示，

(1+2i)+(3+i)=4+3i

乘法也是如此。两个复数相乘的结果就是：它们的模长相乘，幅角相加，如图所示。

虚数在各领域都起着决定性的作用，与它的名字完全不符合，像是著名的欧拉公式，或是之前翻译的一期有关薛定谔方程的视频，都离不开虚数的身影。

你说，虚数还虚吗？